Teorema de Seifert - Van Kampen - Rivera López, José Luis (2024)
En el presente trabajo se muestra el desarrollo que la topología ha tenido a través de la historia, así como la estrecha relación que posee con otras áreas, no solo con la matemática, lo cual le ha permitido una evolución vertiginosa. Aunque el objetivo primordial de este trabajo es, el planteamiento y desarrollo del Teorema de Seifert ± Van Kampen, la naturaleza del mismo es la que hace necesario, el recorrido histórico para contextualizar la topología, seguidamente se estudia la base teórica de la topología y las relaciones que tiene con otras áreas de la matemática para poder, de esta manera reconstruir el camino lógico que culmina con la demostración del teorema en mención. El trabajo está dividido en los siguientes capítulos: Capítulo 1. Historia de la topología y álgebra de conjuntos. En este se presenta el desarrollo que la topología a obtenido en el transcurso de la historia, se plantean los problemas más representativos que dieron origen a la topología, que pasó de ser considerada una Geometría característica, hasta convertirse en una rama específica de la matemática, que en la actualidad cuenta con divisiones dentro de ella, además, se presenta la relación que la topología tiene con otras áreas como: la Teoría de Grafos, Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales, Ecuaciones Funcionales, Variable Compleja, Geometría Diferencial, Geometría Algebraica, Álgebra Conmutativa, Estadística, Teoría del Caos, Geometría Fractal... Incluso tiene aplicaciones directas en Biología y Sociología. Posteriormente se plantea un breve recorrido por el álgebra de conjuntos, en donde se presentan definiciones, teoremas y propiedades que son fundamentales en el estudio de la topología, en esta parte específica no se hace un estudio riguroso, simplemente se mencionan para su posterior uso en nuestro estudio de la topología. Capítulo 2. Topología general. Iniciando con la definición de espacio topológico, en este capítulo se estudia la parte teórica básica de la topología, que debido a su gran amplitud, solamente se tratan aquellas definiciones, teoremas, lemas, axiomas y propiedades que posteriormente utilizaremos en el análisis del Teorema que ha dado origen al presente estudio, entre los tópicos que se estudian en este capítulo tenemos: base de una topología, topología del orden, topología producto, topología del subespacio, espacios conexos, compacidad, entre otros. Capítulo 3. Topología algebraica. En este capítulo se estudia la relación de la topología con el álgebra, tomando una estructura algebraica muy importante como lo es el grupo, de él, se estudian las operaciones de producto y suma, grupos especiales como los grupos libres y abelianos, hasta propiedades como la homotopía, para finalmente estudiar y analizar el Teorema de Seifert - Van Kampen