Introducción al análisis de Fourier en grupos - Gómez Alvarado, Betzaida Gloribel; Mejía Rosales, Karla Marcela (2024)
RESUMEN: Este trabajo tiene como objetivo principal introducir la teoría del Análisis de Fourier o Análisis Armónico a grupos. Para tener una mayor comprensión de la parte fundamental de este trabajo, nos apoyamos de conceptos introductorios previamente estudiados a lo largo de la carrera, entre ellos están: Topología, Grupos Topológicos, Espacios de Banach, Álgebras de Banach y Teoría de la Medida; haciendo un resumen con las propiedades necesarias y básicas de cada uno. El Capítulo 2 constituye el núcleo de nuestro trabajo ya que en este se demuestran los Teoremas básicos del análisis de Fourier, para ello introducimos los fundamentos de la teoría abstracta de la medida Haar y la transformada de Fourier sobre grupos abelianos localmente compactos. Entre los teoremas de importancia destacan: El Teorema de Inversión, El Teorema de Plancherel, El Teorema de Dualidad de Pontryagin y la Compactificación de Bohr; y por último el Capítulo 3 contiene la teoría de estructura de los grupos abelianos localmente compactos, estudiando la dualidad entre subgrupos y mapeos cocientes, la suma directa y grupos nomotéticos; y finalizando con la demostración del Teorema de Estructura Principal. ABSTRACT: The main objective of this work is to introduce the theory of Fourier Analysis or Harmonic Analysis to groups. To have a better understanding of the fundamental part of this work, we rely on introductory concepts previously studied throughout the degree, among them are: Topology, Topological Groups, Banach Spaces, Banach Algebras and Measurement Theory; making a summary with the necessary and basic properties of each one. Chapter 2 constitutes the core of our work since it shows the basic theorems of Fourier analysis, for this we introduce the foundations of the abstract theory of the Haar measure and the Fourier transform on locally compact abelian groups. Among the theorems of importance are: The Investment Theorem, Plancherel's Theorem, Pontryagin's Duality Theorem and Bohr's Compactification; and finally Chapter 3 contains the structure theory of locally compact abelian groups, studying the duality between subgroups and quotient mappings, direct sum and nomothetic groups; and ending with the proof of the Principal Structure Theorem