Introducción a la teoría geométrica de grupo - Moraga Chévez, Katerinne Alejandra; Ojeda Salgado, Marlyn Joanna; Zavala Bonilla, Elsy Nuri (2024)
RESUMEN: La teoría geométrica de grupos es un área de la matemática que se dedica al estudio de los grupos finitamente generados mediante las exploraciones entre las propiedades de tales grupos y las propiedades geométricas de los espacios donde estos grupos actúan (esto es, cuando los grupos en cuestión son realizados como simetrías geométricas o transformaciones continuas de algunos espacios). En nuestra investigación bibliográfica estudiamos la teoría geométrica de grupos con la idea de considerar los mismos grupos finitamente generados como objetos geométricos, usamos formas para estudiar grupos, que son los grafos, cada uno de sus vértices son elementos del grupo en cuestión, además, aunque el mismo grupo puede tener grafos moderadamente diferentes, no le impide usar uno para estudiar el grupo. El estudio de ver los grupos como objetos geométricos es usualmente hecho mediante el estudio del grafo de Cayley del grupo, pasando por las acciones de grupo en el cual se puede contemplar una generalización de los grupos como grupos de simetría, hasta llegar a que la estructura del grafo esta adosada a un espacio métrico, mediante una métrica llamada métrica de palabras. Es importante el estudio de los grupos finitamente generados hasta la cuasi-isometría, para poder llegar a nuestro objetivo, el lema de Švarc-Milnor. En la práctica, este resultado nos indica dos cosas; Si queremos saber más sobre la geometría de un grupo o si queremos saber que un grupo dado está finitamente generado, en este caso, exhibir una buena acción de este grupo en un espacio adecuado es suficiente. Por el contrario, si queremos saber más sobre un espacio métrico, basta con encontrar una buena acción de un grupo conocido adecuado. Por lo tanto, el lema de Švarc-Milnor también se denomina “lema fundamental de la teoría geométrica de grupos”. ABSTRACT: The geometric theory of groups is an area of mathematics that is dedicated to the study of finitely generated groups by explorations between the properties of such groups and the geometric properties of spaces where these groups act (that is, when the groups in question are performed as geometric symmetries or continuous transformations of some spaces). In our bibliographical research we study the geometric theory of groups with the idea of considering the same finitely generated groups as geometric objects, we use forms to study groups, which are graphs, each of its vertices are elements of the group in question, in addition, although the same group may have moderately different graphs, it does not prevent you from using one to study the group. The study of seeing groups as geometric objects is usually done by studying the group’s Cayley graph, passing through group actions in which a generalization of groups as symmetry groups can be contemplated, until the structure of the graph is attached to a metric space, using a metric called word metric. It is important to study finitely generated groups up to quasi-isometry, to reach our goal, the Švarc-Milnor lemma. In practice, this result tells us two things; if we want to know more about the geometry of a group or if we want to know that a given group is finitely generated, in this case, exhibiting a good action of this group in a suitable space is enough. On the contrary, if we want to know more about a metric space, it is enough to find a good action of a suitable known group. Therefore, the motto Švarc-Milnor is also called “fundamental motto of geometric group theory”