Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos directos - Castellanos Castillo, Sara Cecilia; Rivera Zavaleta, José Francisco (2024)
Nuestro propósito al elaborar el presente trabajo de investigación, es dar lineamientos que ayuden a escoger acertadamente un método directo que resuelva un sistema de ecuaciones lineales dado; dicho sistema no debe tener muchas ecuaciones; excepto que tenga una configuraci6n especial; si este fuera el caso que se presentara, se recomienda el empleo de los Métodos Iterativos. En el capítulo I, se recuerdan algunos conocimientos básicos del Algebra Matricial que facilitan la comprensión de lo expuesto en este trabajo; así mismo tratamos de familiarizar al lector con la notación que emplearemos, también conoceremos las diferentes situaciones que se pueden presentar al querer resolver un sistema de ecuaciones lineales; y además se definen conceptos que serán de mucha utilidad en el desarrollo de los siguientes capítulos. En el capítulo II se describen: el Método de Eliminación Gaussiana y el Método de Gauss Jondan; que son Métodos Directos que resuelven un sistema de ecuaciones lineales. Para dichos métodos se dan diversos algoritmos que se aplicarán tomando en cuenta la naturaleza del sistema planteado. Para el Método de Eliminación Gaussiana empleamos las estrategias de pivotamiento completo y parcial para Sistemas de Ecuaciones Lineales que se representan por medio de matrices de orden n. Finalmente se establece una comparación entre el Método de Eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás y el Método de Gauss-Jordan. En el capítulo III se exponen otros métodos directos, que se basan en la factorización de matrices; dichos métodos se emplean para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales que involucran una matriz de orden n. Estos métodos son: Doolitle, Chout y Cholesky. Para la reducción de Chout se ha empleado pivotamiento parcial. En este capítulo se explica, cómo los algoritmos de factorización pueden ser simplificados para el caso de Sistemas Tridiagonales de ecuaciones. Finalmente, en el capítulo IV, se analiza la estabilidad de los algoritmos; para ello comenzarnos definiendo los conceptos de normas de vectores y normas de matrices que servirán para el estudio de la estimación del error en el cálculo de la solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales; obtenida la solución por las técnicas estudiadas anteriormente, en este capítulo damos a conocer una técnica de refinamiento de soluciones; la cual consiste en buscar una solución que se aproxime a la solución verdadera. Al final de la mayoría de las secciones de cada capítulo se encuentran varios ejercicios adicionales, los cuáles constituyen ampliaciones a la teoría incluida en este trabajo.