Dinámica de grupos kleinianos y su extensión a la frontera ideal - Sifontes Rivas, Yoceman Adony (Universidad de El Salvador, 2024)
En esta investigación, se ha estudiado el comportamiento dinámico de ciertas aplicaciones conformes por pedazos en la esfera de Riemann, bC = C ∪ {∞}. Las aplicaciones están asociadas con grupos kleinianos o equivalentemente, con subgrupos discretos con región de discontinuidad distinta del vacío. Los grupos kleinianos actuán como grupos de isometrías que preservan la orientación en el espacio hiperbólico vía la extensión de Poincaré. En [BS1] se establece: dado un grupo fucshiano Γ infinitamente generado que actúa en el disco de Poincaré D, los autores describen una función continua por pedazos fΓ definida en la frontera ideal ∂D = S1, que refleja las propiedades dinámicas de la acción del grupo. Por otro lado, en [R] y [AR] se extiende la construcción de una función continua por pedazos a grupos kleinianos finitamente generados con la propiedad de Even Corners1 y sin cúspide. En este trabajo se ha analizado el problema de construcción para grupos que contengan alguna cúspide, en particular, para el Grupo de Picard Γ = PSL(2,Z[i]), que actúa propia y discontinuamente en el semiespacio superior H3. Este grupo tiene la propiedad de que tiene una sola cúspide y es de covolumen nito. Se ha definido una función conforme por pedazos fΓ(z) e introducido un sistema simbólico P fΓ para estudiar su dinámica. La estructura de este documento es la siguiente: Capítulo 1: se estudia la definición de grupo kleiniano, propiedades fundamentales del conjunto límite y regular, para finalmente dar a conocer los ejemplos clásicos: grupos fuchsianos, en especial el grupo Modular y el grupo de Picard, los cuales son ejemplos de grupos con una sola cúspide. Capítulo 2: en este capítulo se introducen algunos elementos de dinámica simbólica para posteriormente estudiar las construcciones de aplicaciones continuas por pedazos en las fronteras ideales de H2 y H3 respectivamente, las cuales están asociadas a grupos fuchsianos [BS1] y grupos kleinianos finitamente generados, sin cúspide [AR], finalmente se ajustan y presentan las construcciones previas para grupos kleinianos con alguna cúspide y se define una función asociada al grupo de Picard en bC = ∂H3. Capítulo 3: utilizando elementos de dinámica simbólica, se estudia la función fΓ, la cual se define por primera vez en [BS1] como una función continua por pedazos asociada al grupo modular; para dicha función se establecen resultados referentes a la naturaleza de sus órbitas periódicas y cómo encontrarlas. Capítulo 4: finalmente, se estudia la dinámica de una función fΓ asociada al grupo de Picard, la cual está definida en bC= ∂H3, dicha función está inspirada en las construcciones de [BS1], [R] y [AR]. Por otro lado, se demuestran algunas propiedades dinámicas referentes a la existencia, naturaleza de órbitas periódicas y cómo calcularlas; así como también se presentan resultados referentes a la dinámica de las componentes regulares asociadas de fΓ y un Teorema de clasificación dinámica para fΓ, el cual sugiere el comportamiento de las funciones asociadas a grupos kleinianos más generales, particularmente, grupos kleinianos con más de una cúspide.