Recubrimiento de un lazo por medio de sublazos - Rivera Menjivar, Juan Antonio (Universidad de El Salvador, 2025)
Este trabajo presenta la estructura algebraica de lazo, una generalización de los grupos, la cual no es necesariamente asociativa, pero se mantiene la existencia de un elemento neutro e inversos. A lo largo de este trabajo se explora los fundamentos de la teoría de lazos y su relación con la teoría de grupos, se introducen conceptos importantes como los recubrimientos por sublazos, y se adaptan resultados clásicos de la teoría de grupos al contexto de estructuras no asociativas. Se realiza una revisión de las definiciones básicas en teoría de grupos, que servirán como punto de partida para el estudio de teoría de los lazos. Estos conceptos permiten no solo comprender la organización interna de los grupos, sino también como estos pueden ser descompuestos y cubiertos por subconjuntos más pequeños, lo que sienta las bases para el estudio de los lazos. Se presentan algunas de las estructuras algebraicas que son generalizaciones de grupos, las cuales son, magmas, cuasigrupos y lazos, así como varias de sus propiedades y algunos ejemplos que nos permiten ver como se estructuran estos conjuntos. Los magmas siendo un conjunto con una operación binaria cerrada, los cuasigrupos definidos por la existencia de soluciones únicas para las ecuaciones de la forma a* x = b y y*a = b y finalmente un lazo, el cual es un cuasigrupo que además posee un elemento neutro o identidad. En álgebra moderna, el estudio de las subestructuras siempre resulta de suma importancia, los sublazos nos permiten analizar las descomposiciones en clases laterales, adaptando las nociones que en teoría de grupos son clásicas. El concepto de índice de un sublazo se convierte en una parte crucial para entender como los lazos pueden ser estructurados y organizados. La idea de descomposición nos lleva a plantearnos nuevos conceptos, tales como los recubrimientos finitos y los n-recubrimientos para lazos, en los cuales se muestran formas de recubrir un lazo mediante una colección de sublazos, de manera análoga a como un grupo puede ser cubierto por subgrupos. This paper presents the algebraic loop structure, a generalization of groups. The structure is not necessarily associative, but it maintains the existence of a neutral element and inverses. Throughout this paper, the foundations of loop theory and its relationship to group theory are explored, important concepts such as subloop covers are introduced, and classical results from group theory are adapted to the context of non-associative structures. A review of the basic definitions in group theory is provided, which will serve as a starting point for the study of loop theory. These concepts allow us not only to understand the internal organization of groups, but also how they can be decomposed and covered by smaller subsets, which lays the groundwork for the study of loops. Some of the algebraic structures that are generalizations of groups are presented: magmas, quasigroups, and loops, as well as several of their properties and some examples that allow us to see how these sets are structured. Magmas being a set with a closed binary operation, quasigroups defined by the existence of unique solutions to equations of the form a* x = b and y*a = b, and finally a loop, which is a quasigroup that also has a neutral element or identity. In modern algebra, the study of substructures is always of utmost importance. Subloops allow us to analyze decompositions into cosets, adapting classical notions in group theory. The concept of a subloop index becomes crucial to understanding how loops can be structured and organized. The idea of ​​decomposition leads us to consider new concepts, such as finite covers and n-covers for loops, which show ways of covering a loop by a collection of subloops, analogous to how a group can be covered by subgroups.