“Compactificación de Poincaré de Campos Vectoriales Polinomiales” - Avelar Hernández, Pedro Julio (Universidad de El Salvador, 2025)
La Teorı́a Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales es una rama fundamental de las matemáticas que se enfoca en el estudio del comportamiento de las soluciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales sin necesidad de resolverlos explı́citamente. Este enfoque cualitativo es particularmente útil cuando las ecuaciones son difı́ciles o incluso imposibles de resolver me- diante métodos analı́ticos. A través de esta teorı́a, es posible analizar las soluciones globales, su estabilidad, y comportamiento asintótico, lo que esencialmente se da en modelos de fenómenos naturales y sistemas dinámicos. En este trabajo, nos centramos en los conceptos clave de la teorı́a cualitativa, como lo son los campos vectoriales, flujo, y la clasificación de puntos singulares dando atención especial al plano R^2 . Además, exploraremos la compactificación de Poincaré, una técnica que permite la descripción global del diagrama fase de un sistema planar polinomial en un disco (llamado disco de Poincaré), facilitando el estudio del comportamiento de las soluciones en el infinito. Esta herramienta se puede aplicar a problemas concretos en biologı́a, fı́sica y medicina, que se traducen en su utilidad en el modelado de fenómenos reales. El trabajo se estructura en dos partes principales. En el Capı́tulo 1, se presenta los preliminares matemáticos, especialmente para campos de vectores planares, existencia y unicidad, soluciones máximas, y teoremas básicos sobre retratos de fase local. En el Capı́tulo 2, se profundiza en la compactificación de Poincaré de campos vectoriales polinomiales planares, tanto desde un enfoque geométrico como analı́tico, y se ilustra su aplicación a través de ejemplos concretos.